记 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，我们有 \(\varphi^2 = \varphi + 1\)。
定理： 设 \(p \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{N}^*\)，则
\[\begin{equation}\label{eq20241008_1} |\varphi - \frac{p}{q}| \gt \frac{1}{3q^2} \end{equation}\]证明：
若 \(|\varphi - \frac{p}{q}| > \frac{1}{3}\)，\(\eqref{eq20241008_1}\) 显然成立。
否则，设 \(f(x)=x^2-x-1=(x-\varphi)(x+\varphi-1)\)。
一方面，我们有
\[\begin{equation}\label{eq20241008_2} \begin{aligned} |f(\frac{p}{q})| & = |(\frac{p}{q} - \varphi)(\frac{p}{q} + \varphi - 1)| \\ & \leq (\varphi + \frac{1}{3} + \varphi - 1) |\varphi - \frac{p}{q}| \\ & < 3 |\varphi - \frac{p}{q}| \end{aligned} \end{equation}\]另一方面，由于 \(f(x)\) 没有有理根，我们也有
\[\begin{equation}\label{eq20241008_3} \begin{aligned} |f(\frac{p}{q}) | & = |(\frac{p}{q})^2 - \frac{p}{q} - 1| \\ & = |\frac{p^2-pq-q^2}{q^2}| \\ & \geq \frac{1}{q^2} \end{aligned} \end{equation}\]联立 \(\eqref{eq20241008_2}\)，\(\eqref{eq20241008_3}\) 可得
\[3 |\varphi - \frac{p}{q}| > \frac{1}{q^2}\]\(\eqref{eq20241008_1}\) 得证。