黄金分割比的一个性质

记 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，我们有 \(\varphi^2 = \varphi + 1\)。

定理： 设 \(p, q \in \mathbb{N}\)，若 \(0<p<q\)，则

\[ \begin{equation}\label{eq20241008_0} |\varphi - \frac{p}{q}| \gt \frac{1}{3q^2} \end{equation} \]

证明：

若 \(|\varphi - \frac{p}{q}| > \frac{1}{3}\)，\(\eqref{eq20241008_0}\) 显然成立。

否则，设 \(f(x)=x^2-x-1=(x-\varphi)(x+\varphi-1)\)。

一方面，我们有

\[ \begin{equation}\label{eq20241008_1} \begin{aligned} |f(\frac{p}{q})| & = |(\frac{p}{q} - \varphi)(\frac{p}{q} + \varphi - 1)| \\ & \leq (\varphi + \frac{1}{3} + \varphi - 1) |\varphi - \frac{p}{q}| \\ & < 3 |\varphi - \frac{p}{q}| \end{aligned} \end{equation} \]

另一方面，由于 \(f(x)\) 没有有理根，我们也有

\[ \begin{equation}\label{eq20241008_3} \begin{aligned} |f(\frac{p}{q}) | & = |(\frac{p}{q})^2 - \frac{p}{q} - 1| \\ & = |\frac{p^2-pq-q^2}{q^2}| \\ & \geq \frac{1}{q^2} \end{aligned} \end{equation} \]

联立 \(\eqref{eq20241008_1}\)，\(\eqref{eq20241008_3}\) 可得

\[ 3 |\varphi - \frac{p}{q}| > \frac{1}{q^2} \]

\(\eqref{eq20241008_0}\) 得证。